La lumière
Un rayonnement électromagnétique
La lumière visible est un rayonnement électromagnétique, c'est à dire qu'elle est à la fois une onde et un corpuscule.
On peut donc la caractériser à la fois par les propriétés de l'onde – la longueur d'onde ou la fréquence – et par celles du corpuscule – son énergie.
Longueur d'onde, fréquence et énergie sont en fait les différentes facettes d'une même propriété, que nous percevons comme la couleur.
Toutes les ondes électromagnétiques ne sont pas visibles par l'œil humain. C'est le cas par exemple de l'infrarouge, des ondes radios ou des rayons X.
La seule différence entre la lumière visible et ces autres ondes électromagnétiques est leur « couleur ».
Alors que les ondes radio ont une longueur d'onde de plusieurs millimètres ou centimètres, ou que les rayons X ont des longueurs d'onde au plus de 10 nanomètres, la lumière visible se situe entre 380 et 780 nanomètres, de l'indigo au marron.
Ou, si l'on préfère, du violet foncé au rouge très foncé.
Les photons
La particule associée à la lumière est le photon. Son énergie est inversement proportionnelle à la longueur d'onde de l'onde associée : chaque photon de la lumière indigo renferme donc deux fois plus d'énergie que chaque photon de la lumière marron.
Ce qui nous intéresse ici est la quantité de mouvement du photon, mais elle est proportionnelle à l'énergie. Donc le « vent » provoqué par des photons indigos est deux fois plus puissant que celui provoqué par des photons rouges.
La réfraction
Quand la lumière change de milieu, sa vitesse change, avec pour conséquence qu'elle change de direction. Déplacez le curseur ci-dessous pour voir comment se fait le passage de l'air à l'eau.
Toute la lumière n'est pas forcément réfractée : la plupart du temps, une petite partie de la lumière est aussi réfléchie.
La réflexion totale
Mais quand la lumière passe de l'eau vers l'air, si l'angle d'incidence est trop grand, toute la lumière est réfléchie. Déplacez le curseur ci-dessous pour voir comment se fait le passage de l'eau à l'air.
Vitesse de la lumière, indice d'un milieu et loi de la réfraction
La vitesse de la lumière dans le vide est de 299 792 458 m/s, soit un peu plus d'un milliard de km/h.
Dès qu'elle quitte le vide, la lumière ralentit.
Par exemple, dans l'air à 20°C, elle ne va plus qu'à 299 710 937 m/s.
Dans l'eau, elle est d'environ 225 000 000 m/s.
Et dans le verre, 200 000 000 m/s.
Pour simplifier la manipulation de ces quantités, on introduit l'indice de réfraction d'un milieu
$$n={c_{\text{vide}} \over c_{\text{milieu}}}$$
\(n\) est donc toujours supérieur à 1. Il vaut 1,000272 pour l'air à 20°C, environ 1,33 pour l'eau et 1,5 pour le verre.
La loi de Snell-Descartes pour la réfraction exprime la relation entre l'angle \(\theta_1\) d'incidence de la lumière dans le premier milieu et celui \(\theta_2\) dans le deuxième milieu
$$n_1\sin(\theta_1)=n_2\sin(\theta_2)$$
où \(n_1\) et \(n_2\) sont les indices respectifs des milieux.
La dispersion
La vitesse de la lumière dans un milieu dépend de la longueur d'onde de la lumière.
Par conséquent, des rayons de couleur différente sont déviés avec un angle différent, et ressortent donc en ordre dispersé : c'est la dispersion des couleurs de la lumière.
La simulation ci-dessous vous permet de voir ce qui se passe. Choisissez la couleur des rayons (vous pouvez en choisir plusieurs) et modifiez l'angle d'incidence à l'aide du curseur.
Notez que quel que soit votre choix des couleurs contenues dans le rayon incident, ce dernier apparaîtra toujours noir.
Vous ne voyez pas grand chose ? C'est normal, car l'effet est très faible. Cochez la case ci-dessous pour amplifier l'effet d'un facteur 10.
Amplifier l'effet d'un facteur 10
Cette simulation est effectuée pour un verre flint très dispersif (SF10) capable de disperser la lumière beaucoup plus que les verres optiques habituels.
Les paramètres utilisés sont ceux du verre N-SF10 (Schott) tirés du site refractiveindex.info .
La dispersion dans un prisme
Observer la dispersion de la lumière avec une simple vitre est quasiment impossible, car en ressortant de la vitre, les rayons se retrouvent parallèles à eux-mêmes.
C'est pour cette raison qu'on utilise un prisme : une fois sortis du prisme, les rayons de couleurs différentes continuent à diverger.
Pour les observer, il suffit donc de regarder suffisamment loin.
Le rayon de lumière incident est toujours représenté en noir (par simplicité), mais il peut contenir différentes couleurs.
À vous de choisir ces couleurs (une seule, plusieurs, toutes). Utilisez le curseur pour modifier l'angle d'incidence.
Cette fois, l'effet est bien visible ! Et vous avez remarqué ?
Il faut bien ajuster l'angle d'incidence pour avoir un effet de dispersion maximum tout en ne perdant pas de couleurs par réflexion totale...
Cette simulation est effectuée pour un verre flint très dispersif (SF10) capable de disperser la lumière beaucoup plus que les verres optiques habituels.
Les paramètres utilisés sont ceux du verre N-SF10 (Schott) tirés du site refractiveindex.info .
Équations du prisme
Le prisme se situe dans un plan repéré par l'origine (0,0) en haut à gauche. Les coordonnées du point en bas à droite de la zone de dessin sont \((L,H)\).
Le prisme est représenté par un triangle équilatéral de côté \(L_p\). Sa hauteur est donc :
$$H_p={C \over 2} \tan{\pi \over 3}$$
Le prisme est centré sur le point de coordonnées \((L/2,H/2)\). Le sommet du prisme a donc pour coordonnées \((L/2,H/2-H_p/2)\).
La face de sortie du prisme est une droite d'équation
$$y=a_p x+b_p$$
avec
$$
\begin{eqnarray}
a_p &=& \tan{\pi \over 3}\\
b_p &=& {1 \over 2} (H-H_p-L \tan {\pi \over 3})
\end{eqnarray}
$$
Le point d'impact du rayon incident sur la face d'entrée du prisme a pour coordonnées \((L/2-L_p/4,H/2)\)
Le rayon réfracté avec un angle \(\alpha\) par rapport à l'horizontale suit une droite d'équation
$$y=a_r x+b_r$$
avec
$$
\begin{eqnarray}
a_r &=& \tan \alpha\\
b_r &=& {H \over 2}-{1 \over 2}\left(L-{L_p \over 2}\right) \tan \alpha
\end{eqnarray}
$$
Le point d'intersection du rayon réfracté avec la face de sortie du prisme est donc en
$$
x={{b_r-b_p} \over {a_p-a_r}}
$$
La dispersion dans une goutte d'eau
Une goutte d'eau en chute libre a la forme d'une sphère.
L'arc-en-ciel résulte de la réflexion de la lumière à l'intérieur des gouttes d'eau, et c'est ce qui est simulé ci-dessous.
Le rayon de lumière incident est toujours représenté en noir (par simplicité), mais il peut contenir différentes couleurs.
À vous de choisir ces couleurs (une seule, plusieurs, toutes).
Grâce au curseur, vous pouvez modifier le point d'entrée du rayon lumineux dans la goutte. Observez bien ce qui se passe.
On observe bien la dispersion des couleurs, même si elle est moins prononcée que pour le prisme en verre.
Mais il y a un point important que vous devez remarquer : quand on balaye le faisceau d'entrée sur la goutte,
l'angle du faisceau de sortie passe par un maximum. Ce maximum est différent pour des couleurs différentes, et c'est cet angle dont il est question dans la vidéo.
Un arc en ciel complet
Sur terre, il est difficile de voir un arc-en-ciel complet : il est souvent tronqué par l'horizon.
En se plaçant en hauteur, au sommet d'une montagne par exemple, on peut cependant voir plus qu'un demi-cercle.
L'image ci-dessous a été prise depuis un hélicoptère survolant la plage de Cottesloe, près de Perth, en Australie.
Les arcs à billes
On peut reproduire un arc-en-ciel avec des sphères de verre à la place des gouttes d'eau.
Il y a deux façons de procéder.
On peut utiliser une grande sphère de verre de quelques centimètres de diamètre qu'on éclaire avec de la lumière blanche, comme ci-dessous¹ :
On peut aussi utiliser un panneau couvert de micro-billes, formant l'analogue d'un rideau de pluie. On observe alors un arc-en-ciel flottant dans l'air, sans avoir besoin d'écran, comme dans la nature.
Les deux dispositifs sont en fait fondamentalement différents : dans le premier cas, on observe simplement la dispersion de la lumière dans une sphère, alors que dans le second cas, on observe un vrai arc-en-ciel.
Il est temps d'examiner en détail la différence entre les deux.
Si vous voulez revoir certains des compléments, il vous suffit de revenir en arrière dans l'épisode, en vous servant du curseur temps.
¹La figure est inspirée d'un dispositif expérimental proposé dans Dragia Trifonov Ivanov and Stefan Nikolaev Nikolov, A New Way to Demonstrate the Rainbow , The Physics Teacher 54, 460 (2016) - DOI: 10.1119/1.4965263